Принцип Гюйгенса
Обосновывая волновую теорию света, Гюйгенс предложил принцип, который позволял наглядно решать некоторые задачи распространения и преломления света. Смысл его в том, что: Если в какой - либо момент времени известен световой волновой фронт, то для того, чтобы определить его положение через некоторый промежуток времени равный $\ \triangle t$, то каждую точку фронта следует рассматривать как источник сферической волны, построить вокруг такого вторичного источника волн сферу, имеющую радиус $c\triangle t$, где $c$ - скорость света в вакууме. При этом поверхность, которая огибает вторичные сферические волны, будет являться фронтом исходной волны через заданный промежуток времени $\triangle t$.
По физическому содержанию принцип Гюйгенса выражает взгляд на свет как непрерывный процесс в пространстве. При использовании принципа Гюйгенса можно объяснить почему, волны света попадают в область геометрической тени.
Основной проблемой принципа Гюйгенса является то, что он не учитывает явления интерференции света. Этот принцип не дает сведений об амплитуде и интенсивности волн.
Определение 1
Френель развил принцип Гюйгенса, и это положение стало формулироваться так: Любая точка, принадлежащая волновому фронту, превращается в источник вторичных волн (это из принципа Гюйгенса), при этом вторичные источники являются когерентными между собой и испускаемые ими вторичные волны интерферируют. Для поверхности, совпадающей с волновой поверхностью, мощности вторичного излучения равных по площади участков одинаковы. Причем свет, распространяющийся от каждого вторичного источника идет в направлении внешней нормали.
Рэлей обобщил вышеназванный принцип:
Окружим все $S_1,S_2,S_3,\dots $ замкнутой поверхностью $(F)$ произвольной формы. При этом любую точку поверхности $F$ можно считать вторичным источником волн, которые распространяются по всем направлениям. Данные волны когерентны, так как возбуждены одними и теми же первичными источниками. Световое поле, которое появляется, как результат их пространственной интерференции, за пределами поверхности $F$ совпадает с полем реальных источников света.
Так, реальные источники света можно заменить светящейся поверхностью, которая их окружает. Причем, по всей этой поверхности как бы непрерывно распределены когерентные вторичные источники световых волн. Отличие этой гипотетической поверхности в том, что она прозрачна относительно любого излучения.
Предположим, что источник света монохроматический, среда однородная и изотропная. Таким образом, в соответствии со скорректированным принципом каждый элемент поверхности волны $S$ (рис.1) является источником вторичной сферической волны, имеющей амплитуду пропорциональную размерам данного элемента ($dS$).
Рисунок 1.
От любого участка $dS$ волновой поверхности в точку $А$ (рис.1), которая находится перед поверхностью $S$, приходит колебание, которое можно описать следующим уравнением:
где $\left(\omega t+{\alpha }_0\right)$ - фаза колебаний в месте нахождения поверхности $S$, $k$ - волновое число, $r$ - расстояние от элемента поверхности ($dS)$ до точки $A$, $a_0$ - амплитуда колебания света в месте нахождения элемента $dS$. $K$ - коэффициент, зависящий от угла $\varphi $ между нормалью $\overrightarrow{n}$ к площадке $dS$ и направлением от нее к точке $4А$. Если $\varphi =0,\ $то мы имеем $K=K_{max}$, при$\ \ \varphi =\frac{\pi }{2}$ $K=0.$
Суммарное колебание в точке А находится как суперпозиция колебаний, которые берутся для всей волновой поверхности $S$, то есть:
Формула (2) является интегральной формулировкой принципа Гюйгенса - Френеля.
Френель искусственное предположение Гюйгенса об огибающей вторичных волн, заменил четким физическим положением, по которому вторичные волны, складываясь, интерферируют. При этом свет виден в максимумах интерференции, там, где волны взаимно гасят друг друга, имеется темнота. Так, объяснен физический смысл огибающей. К огибающей вторичные волны подходят в одинаковых фазах, поэтому интерференция вызывает большую интенсивность света. Принцип Гюйгенса - Френеля поясняет отсутствие обратной волны. Вторичные волны, которые распространяются от волнового фронта вперед, идут в свободное от возмущения пространство. При этом они интерферируют только между собой. Вторичные волны, которые идут назад, попадают в пространство, где уже присутствует прямая волна, так вторичные волны гасят прямую волну, следовательно, после прохождения волны пространство на ней не имеет возмущений.
В формулировке Рэлея рассматриваемый принцип означает, что волна, которая отделилась от своего источника, далее существует автономно, не зависит от присутствия источников.
Принцип Гюйгенса - Френеля позволяет объяснить явление дифракции.
Пример 1
Задание: Запишите выражение для напряженности электрического поля ($E$) в волне, если считать, что волна сферическая и распространяется свободно.
Решение:
Рисунок 2.
Рассмотрим свободное распространение сферической волны в однородной среде (рис.2), его можно описать, используя уравнение:
Вспомогательной волновой поверхностью в нашем случае является поверхность S, имеющая радиус $r_0$. По утверждению Френеля каждый элемент этой поверхности ($dS$) испускает вторичную сферическую волну. При этом волновое поле, испускаемое элементом $dS$ в точке $А$ найдем как:
Используя гипотезу Френеля имеем:
где $K\left(\alpha \right)$ - функция, зависящая от длины волны и угла между нормалью к фронту волны и направлением распространения вторичной волны (рис.2).
Полное волновое поле в точке $А$ представим интегралом:
Примем в качестве элемента $dS$ площадь кольца, которое вырезается из волнового фронта двумя бесконечно близкими концентрическими сферами центры которых находятся в точке $А$ (рис.2). В таком случае, можно записать, что:
В качестве переменной интегрирования примем расстояние $r_1.$ Величины $r_0$ и $r$ считаем постоянными. Из треугольника $DOA$ найдем:
\[{r_1}^2={r_0}^2+{\left(r_0+r\right)}^2-2r_0\left(r_0+r\right)cos\beta \left(1.6\right).\]
Продифференцируем выражение (1.6), имеем:
Подставим выражение (1.7) для $dS$ в формулу (1.4), получим:
где функцию $K\left(\alpha \right)\ \ рассматриваем\ как$ функцию $r_1$. При этом $r_{max}=r+2r_0.$
Ответ: $E=\frac{2\pi A_0}{\left(r_0+r\right)}e^{i\left(\omega t-kr_0\right)}\int\limits^{r_{max}}_r{K\left(r_1\right)e^{-ikr_1}}dr_1.$
Пример 2
Задание: Как используя принцип Гюйгенса - Френеля объяснить явление дифракции?
Решение:
Допустим, что плоская волна падает на экран перпендикулярно отверстию в нем. Согласно принципу Гюйгенса - Френеля каждая точка участка, волнового фронта, который выделяется отверстием в экране, становится источником вторичных волн. Если среда является однородной и изотропной вторичные волны являются сферическими. При построении огибающей вторичных волн для фиксированного момента времени получится, что фронт волы заходит в область геометрической тени, что означает, что волна огибает отверстие.
Дифракцией называется явление отклонения света от прямолинейности распространения, огибание им малых препятствий, проникновение в область геометрической тени. Между интерференцией и дифракцией нет существенного физического различия. Оба явления заключаются в перераспределении светового потока в результате суперпозиции волн. По историческим причинам перераспределение интенсивности, возникающее в результате суперпозиции волн, возбуждаемых конечным числом дискретных когерентных источников, принято называть интерференцией волн. Перераспределение интенсивности, возникающее вследствие суперпозиции волн, возбуждаемых когерентными источниками, расположенными непрерывно, принято называть дифракцией. Различают два вида дифракции (рисунок 38): дифракция Френеля (а) и дифракция Фраунгофера (б). Если источник света S и точка наблюдения Р расположены от препятствия настолько далеко, что лучи, падающие на препятствие, и лучи, идущие в точку Р, образуют практически параллельные пучки, говорят о дифракции в параллельных лучах или о дифракции Фраунгофера. В противном случае говорят о дифракции Френеля.
При рассмотрении дифракционных явлений Френель исходил из нескольких основных утверждений, принимаемых без доказательств и составляющих содержание так называемого принципа Гюйгенса – Френеля:
1) Принцип Гюйгенса : Каждая точка фронта волны, служит источником вторичных волн, распространяющихся с характерной для данной среды скоростью, а огибающая этих волн задает положение волнового фронта в следующий момент времени. (Фронтом волны называется геометрическое место точек, до которых к данному моменту времени дошли колебания).
Пусть плоская волна нормально падает на отверстие в непрозрачном экране (рисунок 39).
Согласно Гюйгенсу, каждая точка выделяемого
отверстием участка волнового фронта служит источником вторичных волн (в однородной изотропной среде они сферические). Построив огибающую вторичных волн для некоторого момента времени, видим, что фронт волны заходит в область геометрической тени, т. е. волна огибает края отверстия.
2) Принцип интерференции
. Френель дополнил принцип Гюйгенса представлением об интерференции вторичных волн: Все точки фронта волны колеблются с одинаковой частотой и в одинаковой фазе и, следовательно, представляют собой совокупность когерентных источников. Волны от этих когерентных источников распространяются только вперёд и интерферируют между собой.
3) Если часть волнового фронта прикрыть непрозрачными экранами, то вторичные волны испускают только открытые участки фронта волны, причём так, как при отсутствии экранов.
4) Мощности излучения равных по площади участков фронта волны равны.
Пусть поверхность S (рисунок 40) представляет собой положение волнового фронта в некоторый момент. Чтобы определить колебания в некоторой точке P, вызванные волной, по Френелю нужно сначала определить колебания, вызываемые в этой точке отдельными вторичными волнами, приходящими в нее от всех не загороженных каким-либо препятствием элементов поверхности S (ΔS 1 , ΔS 2 и т. д.), и затем сложить эти колебания с учетом их амплитуд и фаз.
В общем случае расчет интерференции вторичных волн довольно сложная задача и сводится, в принципе, к громоздкому интегрированию. Для упрощения этого интегрирования Френель предложил изящный метод разделения фронта волны на зоны. С этим методом, получившим название метода зон Френеля, мы познакомимся при расчёте дифракционных явлений в некоторых частных случаях.
В предыдущем параграфе мы представили волну, вырезанную щелью в экране, в виде плоских волн с различными и проследили их распространение за экраном. Тот же результат можно получить и в результате иного подхода к этой задаче. Для описания распространения света Гюйгенс предложил некий механизм формирования фронта сферической волны, состоящий в следующем. Если принять, что каждая точка поверхности фронта волны (поверхности постоянной фазы является источником новой сферической волны с центром в этой точке, то поле в последующие моменты времени определяется суперпозицией волн от таких элементарных источников, а положение фронта- огибающей элементарных (сферических) волн. Основанием для этого приема служит простое и ясное физическое толкование явления: преградим путь волне непрозрачным экраном с «точечным» отверстием, тогда за экраном получим сферическую волну с центром в отверстии. Суперпозиция таких «точечных» источников и есть фронт начальной волны, а суперпозиция сферических волц - «вторичная» волна (рис. XV.5). Дальнейшее развитие этого принципа Френелем, добавившим к картине Гюйгенса интерференцию «волн-слагаемых», и придание Кирхгофом этой картине математического описания привели к созданию теории дифракции.
Рассмотрим теперь трехмерпую задачу - дифракцию волны на отверстии произвольной формы, и не будем ограничиваться случаем плоской начальной волны. В соответствии с принципом Гюйгенса - Френеля поле в точке Р за экраном (рис. ХV.6) есть суперпозиция сферических волн, исходящих из различных точек отверстия в экране:
Рис. XV.5. Образование фронта волны по Гюйгенсу.
Рис. XV.6. К описанию дифракции на отверстии в плоском экране.
где - напряженность поля в точке отверстия, А - коэффициент, подлежащий определению. Расстояние между точкой-источником и точкой Р
Для нахождения коэффициента А устремим размеры отверстия в экране к бесконечности. Конечно, как и всегда, мы должны определить здесь физический масштаб бесконечности («по сравнению с чем»). Это мы сделаем несколько позже. Сейчас же заметим, что если волна перед экраном плоская, то при поле в точке Р также будем полем той же плоской волны, так что
Принимая для приближение (98.2), что, как увидим ниже, не противоречит «бесконечным» размерам отверстия, найдем
Интеграл в этом соотношении имеет следующее значение:
Таким образом, и поле в точке Р описывается соотношением
которое носит название интеграла Кирхгофа и представляет собой решение задачи о дифракции электромагнитной волны на экране с отверстием
Отметим одну существенную особенность полученного выражения: оно содержит множитель что соответствует сдвигу фаз между реальным полем в отверстии экрана и полем воображаемых точечных источников, которыми мы заменяем реальное поле в соответствии с принципом Гюйгенса - Френеля. На это обстоятельство обратил внимание еще Френель, обнаруживший, что построение Гюйгенса для фронта вторичной волны (см. рис. XV.5), проводимое с учетом сдвига фаз и интерференции, дает правильный результат, если «принудительно» ввести сдвиг фаз в поле источников по отношению к полю первичной волны.
Теперь выясним справедливость наших приближений. Мы приняли при вычислении А, с одной стороны, а с другой стороны, (см. (98.2)). Эти требования не противоречивы, так как, на самом деле, нужно, чтобы к бесконечности стремился фазовый множитель т. е. величины х и у становились большими по сравнению с длиной волны . В то же время величина слабо меняется при изменении х, у, если Поэтому для знаменателя в (98.3), (98.5) можно принять
Представим теперь разложение (98.2) в виде
Если размеры отверстия в экране достаточно малы по сравнению с расстояниями т. е.
а точка наблюдения Р расположена достаточно близко от оси, так что
мы приходим к случаю, описанному в предыдущем параграфе. Действительно, компоненты вектора к можно выразить через координаты точки наблюдения:
и записать показатель экспоненты в (98.5) в виде
Тогда поле в точке Р описывается выражением, содержащим фурье-образ по волновым числам от поля в отверстии,
Отметим, что фазовый множитель перед интегралом в (98.10) не влияет на распределение интенсивности в дифракционной картине. Если к тому же справедливы условия (98.8) и квадратичными членами в показателе экспоненты можно пренебречь, соотношение (98.10) есть не что иное, как разложение поля в отверстии по плоским волнам. В частности, для отверстия в виде щели (одномерный случай) множитель в интеграле Кирхгофа (98.5) следует заменить:
что соответствует переходу от разложения по сферическим волнам к разложению по цилиндрическим волнам. Тогда из (98.10) имеем
Модуль этого выражения в точности совпадает с результатом (97.8), полученным в приближении плоских волн. Однако теперь найдено полное решение, учитывающее фазу дифрагированной волны.
Итак, интеграл Кирхгофа, являющийся математическим выражением принципа Гюйгенса - Френеля, может быть представлен в приближенном виде, существенно облегчающем вычисления, в двух важных частных случаях. Первый из них есть не что иное, как параксиальное приближение, или разложение по расходящимся сферическим волнам,
Второй случай - приближение Фраунгофера, или разложение по плоским волнам
Напомним, что при переходе к двумерному случаю (разложение по цилиндрическим волнам) множители перед интегралами в (98.13), (98.14) следует заменить согласно (98.11). Если же дифракционная картина наблюдается в фокальной плоскости объектива, расстояние до экрана следует заменить на фокусное расстояние
Решение задачи дифракции в параксиальном приближении (98.13) носит название дифракции Френеля.
Глава 23. Дифракция света
Дифракцией принято называть огибание волнами препятствий, встречающихся на их пути, или в более широком смысле - любое отклонение распространения волн вблизи препятствий от законов геометрической оптики. Благодаря дифракции волны могут попадать в область геометрической тени, огибать препятствия, проникать через небольшие отверстия в экранах и т. д. К примеру, звук хорошо слышен за углом дома, т. е. звуковая волна его огибает.
Явление дифракции объясняется с помощью принципа Гюйгенса (см. §170), согласно которому каждая точка, до которой доходит волна, служит центром вторичных волн, а огибающая этих волн дает положение волнового фронта в следующий момент времени.
Пусть плоская волна нормально падает на отверстие в непрозрачном экране (рис. 256). Согласно Гюйгенсу, каждая точка выделяемого отверстием участка волнового фронта служит источником вторичных волн (в однородной изотропной среде они сферические). Построив огибающую вторичных волн для некоторого момента времени, видим, что фронт волны заходит в область геометрической тени, т. е. волна огибает края отверстия.
Явление дифракции характерно для волновых процессов. По этой причине если свет является волновым процессом, то для него должна наблюдаться дифракция, т. е. световая волна, падающая на границу какого-либо непрозрачного тела, должна огибать его (проникать в область геометрической тени). Из опыта͵ однако, известно, что предметы, освещаемые светом, идущим от точечного источника, дают резкую тень и, следовательно, лучи не отклоняются от их прямолинейного распространения. Почему же возникает резкая тень, в случае если свет имеет волновую природу? К сожалению, теория Гюйгенса ответить на данный вопрос не могла.
Принцип Гюйгенса решает лишь задачу о направлении распространения волнового фронта͵ но не затрагивает вопроса об амплитуде, а следовательно, и об интенсивности волн, распространяющихся по разным направлениям. Френель вложил в принцип Гюйгенса физический смысл, дополнив его идеей интерференции вторичных волн.
Согласно принципу Гюйгенса - Френеля , световая волна, возбуждаемая каким-либо источником S , должна быть представлена как результат суперпозиции когерентных вторичных волн, ʼʼизлучаемыхʼʼ фиктивными источниками. Такими источниками могут служить бесконечно малые элементы любой замкнутой поверхности, охватывающей источник S . Обычно в качестве этой поверхности выбирают одну из волновых поверхностей, в связи с этим все фиктивные источники действуют синфазно. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, волны, распространяющиеся от источника, являются результатом интерференции всех когерентных вторичных волн. Френель исключил возможность возникновения обратных вторичных волн и предположил, что если между источником и точкой наблюдения находится непрозрачный экран с отверстием, то на поверхности экрана амплитуда вторичных волн равна нулю, а в отверстии - такая же, как при отсутствии экрана.
Учёт амплитуд и фаз вторичных волн позволяет в каждом конкретном случае найти амплитуду (интенсивность) результирующей волны в любой точке пространства, т. е. определить закономерности распространения света. В общем случае расчет интерференции вторичных волн довольно сложный и громоздкий, однако, как будет показано ниже, для некоторых случаев нахождение амплитуды результирующего колебания осуществляется алгебраическим суммированием.
Как известно, свет проявляет свойства, волны и частицы. Одна из теорий, описывающих его поведение - это волновая теория света. Важнейший постулат этой теории - принцип Гюйгенса-Френеля. Он описывает и объясняет распространение волн, частным случаем которых и является свет - электромагнитное излучение в оптическом диапазоне.
Это утверждение объясняет и описывает то, как распространяются колебания, например, свет. Оно состоит из двух частей. Первую часть (принцип Гюйгенса) предложил Христиан Гюйгенс в 1678 году. Он предположил, что при распространении излучения из каждой точки волнового фронта начинают исходить новые сферические волны.
Волновой фронт - это поверхность, на которой возмущение находится в одинаковой фазе. Проще говоря, это граница пространства, в котором уже распространилось возмущение. Например, если бросить камень в воду, пойдут круги - волны. Их фронт в этом случае - это самый внешний круг.
Огюстен Жан Френель в 1815 году развил предположение Гюйгенса.
Важно! Его дополнение заключается в том, что поле, получившееся при распространении возмущения, создается интерференцией вторичных колебаний, которые имеют одинаковую амплитуду. Огибающая вторичных волн дает положение волнового фронта через небольшой промежуток времени.
Интерференция - это наложение волн друг на друга. При этом в одних участках колебания они взаимно усиливают друг друга, в других ослабляют. Поэтому для света получается картина из светлых и темных полосок. Пример этого — кольца Ньютона, картина из концентрических кругов, получающаяся, если плоско-выпуклую линзу положить на стеклянную пластинку.
Чтобы можно было наблюдать картину интерференции, излучение должно быть когерентным. Это значит, что оно должно иметь постоянную разность фаз и давать колебания такой же частоты, если их сложить.
Утверждение, сделанное Гюйгенсом, помогало определить только направление распространения возмущения и объясняло распространение света, как его описывает геометрическая оптика. Дополнение принципа Гюйгенса позволяет рассчитывать амплитуду и интенсивность.
Если говорить кратко, этот постулат заключается в следующем. Колебания в любой точке пространства - это результат интерференции возмущений, излученных точками на волновой поверхности.
Для любой точки пространства колебания - это наложение вторичных когерентных колебаний, излучаемых точками волнового фронта. Таким образом, в некоторых задачах можно один источник заменить на несколько одинаковых вторичных источников.
Рассматриваемое утверждение дает возможность объяснить различные оптические явления:
С помощью принципа Гюйгенса-Френеля можно рассчитать амплитуду и интенсивность светового излучения. Для этого используются методы зон Френеля.
Это утверждение важно для решения задач по дифракция света по принципу Гюйгенса-Френеля. Строгое решение таких задач математически очень сложно, поэтому пользуются приближенными методами.
Благодаря открытиям Гюйгенса и Френеля в таких задачах можно заменить один первичный источник совокупностью вторичных источников.
Это существенно облегчает задачу, например, для сферического случая. Такой метод расчета называется методом зон Френеля.
Важно! Зоны Френеля - это участки, на которые делят поверхность, чтобы упростить расчет, например, амплитуды колебаний. На зоны можно разбить любую поверхность, через которую проходит свет.
В случае сферической волны зоны Френеля выглядят как кольца. Для произвольной точки М их можно построить, проведя из этой точки сферы радиусы, различающиеся на 1/2 длины волны.
Площади зон Френеля с небольшими номерами примерно одинаковы. Они не зависят от номера зоны m. Они считаются как разница площадей сегментов сферы. Если не углубляться в детали, площади зон Френеля в этом случае находят так. Нужно умножить длину волны на радиус сферического волнового фронта R, на расстояние до точки наблюдения a и на число пи, а затем поделить на сумму R и a.
Зоны Френеля находят применение в зонных пластинках со светлыми и темными кольцами-радиусами, соответствующими размерам зон. Они работают аналогично собирающей линзе.
С помощью этого постулата объясняется дифракция света по принципу Гюйгенса-Френеля - огибание ими небольших предметов. Для света он дает обоснование того, почему возмущения распространяются и в область геометрической тени. Если бы они не огибали предметы, мы бы никогда не увидели полутени, все тени были бы резкими, как предполагает геометрическая оптика. Но реальная картина отличается от предположений геометрической оптики.
Пример - плоская волна, падающая на плоскость с отверстием. Когда она проходит через отверстие, все точки фронта излучают вторичные сферические колебания. С помощью построения огибающей увидим, что фронт волны оказывается там, куда согласно геометрической оптике свет попадать не должен.
Френель обосновал явление дифракции света по принципу Гюйгенса-Френеля и создал метод ее расчета. Развив принцип Гюйгенса, он установил, что:
Прямоугольную щель можно поделить на N зон в виде узких полосок, параллельных ее длинной стороне. Если наблюдатель находится далеко от источника, то задача сводится к расчету интерференции от N одинаковых источников.
В таком случае интерференционная картина выглядит как светлые и темные полосы. Наиболее яркая светлая полоса - главный максимум - находится в центре.
Когда свет попадает из одной среды в другую, например, из воздуха в воду, он меняет направление, т.е. преломляется. Согласно принципу Гюйгенса-Френеля на границе сред из каждой точки исходит вторичное излучение.
Из принципа Гюйгенса можно получить, что показатель преломления равен отношению скоростей светового колебания в одной и другой среде. Также можно найти и угол, на который отклоняется свет.
В интернете можно найти видео, демонстрирующие, как работает принцип Гюйгенса-Френеля. Например, наглядная демонстрация для отражения плоской волны от поверхности доказывает, что угол падения и угол отражения равны.
Если волна падает на плоскость, отражаясь от нее, различные точки волновой поверхности доходят до плоскости неодновременно. Начинают распространяться вторичные колебания.
Касательная к ним - это и есть волновой фронт отраженного колебания. Решив простую геометрическую задачу о равенстве треугольников, можно установить, что углы, под которыми излучение падает и отражается, равны.
Можно построить изображение источника в плоском зеркале. Фронт отраженного возмущения будет сферой с центром в некоторой точке. Эта точка и будет мнимым изображением плоского источника в зеркале.
Можно найти видео, иллюстрирующие и другие физические явления. Например, можно пронаблюдать зоны Френеля для электромагнитного колебания. Также можно найти лекции, посвященные принципу Гюйгенса-Френеля и другим вопросам оптики.
Принцип Гюйгенса-Френеля дает возможность объяснить такие оптические явления, как рефракцию, дифракцию, распространение света по прямой, интерференцию. С его помощью можно приближенно решать задачи оптики, которые очень трудно решить точными методами. Это утверждение - основной постулат волновой теории и применимо не только к распространению светового излучения, но и к другим волновым процессам.
Вконтакте
